Завдання індійського математика  XII століття Бхаськари

«На березі ріки зростала тополя самотня.

Раптом вітру порив його ствол надломал.

Бідна тополя впала.

 І кут прямий з течією річки його ствол складав.

Запам'ятай тепер, що в цьому місці річка

 В чотири лише фута була широка верхівка схилилася в краю річки.

 Залишилися три фути всього від ствола,

Прошу тебе, скоро тепер мені скажи:

В тополі як велика висота?»

Інопланетяни і теорема Піфагора)))

            Паризькою академією наук була встановлена премія в 100000 франків тому, хто перший встановить зв'язок з яким-небудь мешканцем іншого небесного тіла; ця премія все ще чекає щасливця. Жартома, хоча і не зовсім безпідставно, було вирішено передати мешканцям Марса сигнал у вигляді теореми Піфагора.

Невідомо, як це зробити; але для всіх очевидно, що математичний факт, виразимого теоремою Піфагора має місце усюди і тому схожі на нас мешканці іншого світу повинні зрозуміти такий сигнал.

Наслідок з теореми Піфагора

З рівності а² + b ² = c² також випливає, що c² › а² і c² › b ², звідси c › а і c › b, тобто

гіпотенуза більша за буд-який катет

         Передбачають, що за часів Піфагора теорема звучала по-іншому: "Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сума площ квадратів, побудованих на його катетах". Дійсно, с² – площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, а² і b² – площі квадратів, побудованих на катетах.

Легенда про народження Піфагора

        В VI столітті до нашої ери осередком грецької науки та мистецтва стала Іонія- група островів Егейського моря, які знаходяться біля берегів Малої Азії. Там у сім’ї золотих справ майстра Мнесарха народився син. За легендою, в Дельтах, куди приїхали Мнесарх з дружиною Парфенісою,- чи по справам, чи у весільну подорож оракул пророчив їм народження сина, який буде славитися віками своєю мудрістю, справами та красою. Бог Аполлон, вустами оракла, радить їм плити в Сірію. Пророцво збувається- в Сидоні Парфеніса народила хлопчика. І тоді за давньою традицією Парфеніса приймає ім’я Піфіада, на честь Аполлона Піфійського, а сина називає Піфагором, на честь пророцтва піфії.

Презентація учительська по темі "Піфагор. Теорема Піфагора" ( 8 клас ) 

Тести 

до уроку "Теорема Піфагора " 8 клас

 

  1. Як називаються сторони прямокутного трикутника, які утворюють гострий кут?

   а) катети     б) гіпотенуза        в) катет і гіпотенуза  г) два катети і гіпотенуза

         2. Що називається косинусом гострого кута прямокутного трикутника?

         а) відношення гіпотенузи до прилеглого катета

         б) відношення прилеглого катета до гіпотенузи

         в) відношення прилеглого катета до гіпотенузи

         г) відношення прилеглого катета до протилежного

         3. Від чого залежить косинус гострого кута трикутника?

         а) від розмірів трикутника

         б) від градусної міри кута

         в) від градусної міри кута і розміщення трикутника на площині

         г) від градусної міри кута і розмірів трикутника

        

         4. Як читається теорема Піфагора?

         а) квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів його катетів

         б) квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює різниці квадратів його катетів

         в) гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює сумі катетів

         г) с² = а² – в²

         5. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 5 і 12 см. Чому дорівнює гіпотенуза трикутника?

                          а) 15 см         б) 14 см         в) 13 см            г) 16 см

         6. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а один з катетів 8 см. Чому дорівнює другий катет?

                          а) 25 см          б) 6 см            в) 5 см             г) 1 см

         7. Порівняйте катети а і в прямокутного трикутника з його гіпотенузою.

         а)  а < c, в > c

         б)  a < c, в = c

         в)  a > c, в > c

         г)  a < c, в < c

         8. Що можна сказати про косинус гострого кута прямокутного трикутника?

                    а) cos α > 1     б) cos α = 0           в) cos α < 1        г) cos α = 1

Легенда про вдячного богам Піфагора

     Збереглась легенда, в якій розповідається, що коли Піфагор довів свою знамениту теорему, приніс богам у жертву 100 биків!

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

Кросворд "ПІФАГОР"

Запитання

1.Чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші -  не паралельні.

2.Найбільша зі сторін прямокутного трикутника.

3.Трикутник - це ... , яка складається із трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, попарно з'єднуючих ці точки.

4.Одна із сторін трикутника, що утворюють прямий кут.

5.Наука, яка вивчає властивості геометричних фігур.

6.Перпендикуляр, проведений із вершини трикутника, на протилежну сторону.

7.Прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Так сказав Піфагор

• Нічому не дивуватися.
• Тимчасова невдача краще тимчасової удачі.
• Не давай дурневі в руки меч, а нечесному — владу.
• Твори велике, не обіцяючи великого.
• Жарти, як і сіль, належить вживати помірковано.
• Для пізнання натури будь-якого народу намагайся найперше вивчити його мову.
• Будь другом істини і мучеництва, та не будь її захисником до нетерпимості.
• Живи з людьми так, щоб твої друзі не стали недругами, а недруги стали друзями.
• Келих життя був би солодким до нудоти, якщо б не падало в нього гірких сліз.
• Не заплющуй очей, коли хочеш спати, не проаналізувавши всіх своїх вчинків за минулий день.
• Не роби нічого ганебного ні в присутності інших, ні таємно.
• Першим твоїм законом має бути повага до себе самого.
• У хвальків, як і в позолоченій зброї, внутрішнє не відповідає зовнішньому.
• Лише неблагородна людина здатна в очі хвалити, а поза очі злословити.
• Лестощі, немов зброя, намальована на картині: викликає приємність, а користі — ніякої.
• У час гніву не треба ні говорити, ні діяти.
• Ніхто не має втрачати міру ні в їжі, ні в питті.
•  Усе впорядковується відповідно до чисел.

Фрагмент уроку

на тему "Теорема Піфагора"

     Вчення Піфагора

 «Будь повелителем самого себе: володіючи і управляючи собою,

ти матимеш чудове царство і найбільш важливу посаду».

Піфагор

     Античну філософію важко уявити  без Піфагора і піфагорійців.

    Піфагор (бл 580 - бл 500 рр. до н. е.) після довгочасного навчання в Єгипті, Вавилоні, можливо й в Індії, засновує у м Критоні свою школу - Піфагорійський союз, що увійшов в історію у вигляді величної картини «спільного товариства» як науково-філософської і етико-політичної єдності однодумців.

      Цікавим є спосіб життя, який сповідували піфагорійці. Він спирався на ієрархію цінностей. На перше місце ставилося прекрасне і благопристойне, на друге - вигідне і корисне, на третє - приємне. Наука належала до прекрасного і благопристойного. До союзу приймались жінки й чоловіки, які витримали багатолітню перевірку своїх розумових і моральних якостей. Власність була спільною. У школі було два ступені. Акусматики (послушники) засвоювали знання догматично, звідси походить легенда, що в школі Піфагора учень повинен перші п'ять років мовчати. Другий ступінь - математичний — посідали вчені, які займалися обґрунтуванням складних проблем. Піфагорійський союз був закритою організацією, а його вчення - таємним. Розповідають, що сам Піфагор викладав основи свого вчення за ширмою, щоб учні лише чули його голос, а самого не могли бачити.

   

  В основі піфагорійської етики лежало вчення про «належне», яке означало перемогу над почуттями, підкорення молодших старшим, культ дружби і товариськості, шанування Піфагора. Велика увага приділялась медитації, психотерапії, проблемі дітородіння. Розроблялися прийоми поліпшення розумових здібностей, вміння слухати і спостерігати. Найбільш цінувався споглядальний спосіб життя мудреця. Перед сном обов'язковим був звіт перед собою за прожитий день: «Як я його прожив. Що я зробив? Який мій обов'язок залишився невиконаним?» Спосіб життя піфагорійців мав світоглядні основи: він брав початок в уявленні про космос як упорядковане і симетричне ціле, краса якого доступна лише тим, хто веде правильний спосіб життя.

      Життя Піфагора, згідно з існуючою інформацією, сповнене легенд і містики. То Піфагора бачили одночасно у двох містах, то казали, що він мав золоту ногу, то його вітала голосом ріка Кас. Начебто він знав про свої минулі втілення, зокрема, що він, син бога Гермеса, через кілька поколінь народився Піфагором. Тому ставив себе вище за інших людей, вважав, що існує три види розумної живої істоти: бог, людина і «подібні Піфагору» (останні походять із сім'я кращого, ніж людське).

     У цьому магіко-міфологічному контексті вимальовується теза Піфагора про те, що «наймудріше — число», воно володіє всіма речами, серед них і моральними, і духовними якостями. Душа — гармонія, що є числовим відношенням. Розповідають, що Піфагор прийшов до цього висновку так: проходячи повз кузню, він помітив, що удари різних за вагою молотів, збігаючись, дають різні гармонічні співзвуччя. Вагу молота можна виміряти. Тобто якісне явище (співзвуччя) точно визначається через кількість. Звідси висновок, що взагалі «число володіє речами».

      Піфагор відомий як творець «теореми Піфагора», він став на шлях перетворення математики емпіричної на математику теоретичну. Він надав геометрії форми вільної науки, досліджував теореми з інтелектуальної точки зору. В космогонії Піфагор - один з перших геоцентристів, який вчив про «гармонію сфер». Йому приписують конструювання слова «філософ».

     У вченні Піфагора знайшов відображення складний, суперечливий процес народження філософської думки, що пробивалася через пережитки міфології, магії, інші культурні напластування зовсім іншого, ніж філософія, рівня. На відміну від іонійських філософів-одинаків, Піфагор у спілці однодумців виступив першим пропагандистом філософії, і для успіху в слухачів, які звикли до старих цінностей, легенди про золоту ногу і тому подібне були не зайвими.

Нумерологія. Квадрат Піфагора.

   Нумерологічна методика "Квадрат Піфагора" виникла більше двох століть тому. Ряд джерел стверджує, що вона була запропонована самим Піфагором.
  Не вдаючись в теоретичні міркування про квадрат Піфагора покажемо суть методу на практиці.


Розрахунок квадрата Піфагора.

Наприклад, ви народилися 11 липня 1953 Пишемо: 11.07.1953.
Складаємо: 1 +1 +7 +1 +9 +5 +3 = 27. Це Перше робоче число.

Знову складаємо його цифри: 2 +7 = 9. Це Друге робоче число.

З Першого робочого числа віднімаємо подвоєну першу цифру вашого дня народження:
27 - (1 * 2) = 25. Це Третє робоче число.

Наприклад, якщо дата народження починається на 0 (01) - 0 відкидається, множиться 1.

Складаємо цифри Третього робочого числа: 2 +5 = 7. Вийшло Четверте робоче число.


А тепер зверніться до таблиці: 

У центр кожної з клітин пишіть відповідні їм цифри з вашої останньої стрічки (11. 7. 1953. 27. 9. 25. 7). (Якщо в ній не було якихось цифр, в клітці робиться прочерк).

ТЛУМАЧЕННЯ

Квадрат 1

1 - у людини програма егоїста, закладена в нього програма спрямована на розвиток самої особистості.

11 - егоїзм виражений у меншій мірі.

111 - характер поступливий, настає рівновага в зовнішньому і внутрішньому використанні енергії.

1111 - в людині проявляється вплив на зовнішній світ, людина сильний, вольовий.

11111 - характер цілеспрямований, жорстокий. Диктатор.

111111 - деспотичний, але здатний на все заради близьких і друзів. З ним дуже важко.


Квадрат 2 - показник енергетичної сили

Відсутність двійок або одна двійка позначає відсутність запасу своєї біоенергії. Значить, канал відкритий для інтенсивного набору чужої або космічної енергії. Це - т.зв. «Енергетичні вампіри». Зауважте: одна з ознак - любите старі речі і володієте високою комунікативністю. Жвавістю в спілкуванні намагаєтеся підживитися енергією від оточуючих.

22 - людина здатна ділитися енергією з іншими, може стати цілителем.

222 - свідчать про хороші екстрасенсорні можливості.

2222-22222 - у сильних екстрасенсів, схильних деколи до деспотизму.



Квадрат 3 (порядність).

Відсутність трійок - дуже акуратна або пунктуальна людина. Виділяється серед оточуючих своєю розмовою.

3 - цих людей турбує непорядок, але відносно (хочу роблю, хочу - ні), все залежить від настрою.

33 - здатність до наук (чудові математики, фізики, хіміки).

333 - здатність до наук (з подвоєною силою). Педантичність, акуратність, якщо немає реалізації в науці.

3333 - явно проявляється небажання розвиватися.

33333 - небажання розвиватися набуває патологічний характер.


Квадрат 4 (здоров'я).

Відсутність четвірок - ця людина схилена до серйозних хвороб (особливо при розрахунку 2).

4 - хворіти буде, в основному, в старості.

44 - дуже здорова людина чи володіє підвищеним темпераментом. При їх більшій кількості можливі аномальні прояви темпераменту, в тому числі і сексуального.


Квадрат 5 (інтуїція).

Немає п'ятірок - невідкритий канал при народженні. Ці люди завжди стараються щось зробити,  завжди в роздумах, в експерименті, в розрахунках. Життєвий досвід показує, що цією людиною буде зроблено багато помилок. Цим людям важко жити. Все, що дається, пробивають головою.

5 - канал відкритий, ці люди роблять менше помилок.

55 - людину «ведуть» вищі сили.

555 - відкривається дар ясновидіння.

5555 - людина може одночасно перебувати в різних вимірах. Є моменти, коли вони знаходяться по той бік часу і простору.


Квадрат б - «знак Землі».

Немає шісток - людина прийшла в цей світ одержати професію, що не пов'язана з фізичною працею.

6 - заземлена людина, фізична праця необхідна, та можна подумати і про навчання.

66 - дуже заземлена, хоч фізична праця не потрібена вам, та ви її любите.

666 - знак тривожний. Людина дуже приваблива, темпераментна. Ваш партнер повинен бути з великою кількістю двійок. 666 - відповідно до Біблії, знак Сатани - свідоцтво руйнівного характеру.

6666 - ця людина в своїх попередніх земних перетвореннях набрала багато заземленности дуже багато працювала. Для цієї людини не існує ярма фізичної праці. Вона завжди трудиться. Такій людині обов'язково потрібно вступати до інституту, особливо якщо є ще й дев'ятки.


Квадрат 7

Немає сімок - ця людина народилася, щоб заробити сімки в своїх подальших перетвореннях. Але заробити їх можна тільки співчуттям. Дуже важке життя. Воно складається непросто.

7 - свідчить про зачатки талантів, які необхідно розвивати.

77 - про більш явний прояв талантів.

77 - це дуже сильний знак, особливо якщо розвинути його силу повністю. Людина музикальна, має художній смак, може малювати. Якщо в розрахунку є 1 і 2, то її егоїзм керуватиме нею і їїталантом. Людина ходить по лезу бритви, наділена всім: і хорошим, і поганим. Для нього не буде закритих дверей.

777 - знак особливий. Три сімки - знак ангелоподібної і позначають, що людина прийшла на землю ненадовго. Ці люди зіткнуться з серйозними труднощами.

7777 - це знак тривоги. Чотири сімки в ангелів, які зійшли на землю і вмирають вже в дитячому віці. Люди з таким знаком повинні бути дуже обачні.


Квадрат 8. Знак надійності.

На людину, у якої немає вісімок, не варто покладатися, якщо він щось візьме те не поспішає віддавати.

8 - у пунктуальних.

88 - у здібних на самопожертву.

Від себе хочеться додати, що люди з одного і двома 8 рідше розривають пута шлюбу, хоча це не виключено.

888 - знак служіння народу.

8888 - дуже рідко лише у людей з парапсихічнимих здібностями. 8888 в нинішньому столітті були тільки в 1988 році. Діти народилися з розвиненими здібностями, зі схильністю до вивчення точних наук.


Квадрат 9. Рівень розумових здібностей.

При одній дев'ятці вони нормальні, при двох - блискучі. Діти з трьома дев'ятками вчаться вже без інтересу, з чотирма - володіють видатним розумом, але й досить вимогливі до оточуючих. 9999 - людині відкрита істина в поєднанні з рідкісним розумом, але відрізняють грубість, немилосердя.

Теорема Піфагора

      Теорема Піфагора — одна із засадничих теорем евклідової геометрії, котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа (є й інші версії, зокрема альтернативна думка, що ця теорема у загальному вигляді була сформульована математиком-піфагорійцем Гіппасом).

Теорема звучить так:

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Позначивши довжину гіпотенузи трикутника як c, а довжини катетів як a та b, отримаємо такі формули:

Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Відповідно, в алгебраїчній інтерпретації теорему можна сформулювати так:
У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.

Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, котра визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.

Також доведено зворотне твердження (називають також зворотною до теореми Піфагора):
Для будь-яких трьох додатних чисел a, b і c, для яких виконується рівняння a² + b² = c², існує прямокутний трикутник з катетами a та b і гіпотенузою c.

Наукові досягнення Піфагора

Піфагор займає почесне місце в історії математики. Він відкрив нову епоху в еволюції наукової думки. Піфагорійці перетворили давно відомі практичні правила в наукові положення, обґрунтовані точними доведеннями. Піфагор увів загальновизнаний тепер дедуктивний метод, суть якого полягає в тому, що, крім невеликої кількості прийнятих без доведень первісних положень, які називаються аксіомами, всі інші твердження математики виводяться логічними міркуваннями.

Вчення про число
Основним змістом піфагорійської математики є вчення про число. Як і вавилонські маги, піфагорійці вважали надзвичайно важливими різні властивості чисел і відношення між ними. І коли відсіяти полову — числову містику, виявиться, що вони ввели багато фундаментальних теоретико-числових понять, виявили і дослідили глибокі властивості чисел і поставили такі питання, які й сьогодні залишаються предметом досліджень багатьох учених і все ще чекають свого розв’язання.

Досконалі числа
Найважливішою властивістю чисел піфагорійці вважали парність і непарність і першими ввели поняття парного і непарного числа, простого і складеного, розробили теорію подільності на два, дали кілька класифікацій натуральних чисел. Піфагорійці вважали унікальними такі числа, в яких сума власних дільників, тобто дільників, менших від самого числа, дорівнює самому числу. Наприклад:

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Піфагор

 Про Всесвіт

     Піфагор був першим, хто назвав Всесвіт «Космосом» через ту впорядкованість, яка йому притаманна. За його вченням основоположні принципи світобудови можна висловити мовою математики. Початком, що об'єднує всі речі, виступають числові співвідношення, які виражають гармонію й порядок природи: «Всі речі суть числа».
     Всесвіт, за Піфагором, — шароподібний і складається з десяти небесних сфер. В центрі Всесвіту розташований невидимий із землі «вогонь», який піфагорійці називають «стражем Зевса». Навколо нього обертаються всі сфери, в тому числі й Земля. Кожна сфера є визначена числом і дає притаманний лише їй звук, в результаті космос в цілому являє собою гармонійний світовий хор.

 Про гармонію

     Гармонія присутня скрізь у Всесвіті: і в комбінації ритмів астрономічних тіл, за якими вони обертаються в просторі, відомій як «музика сфер», і в мистецтві музики, яка очищує душу. Гармонія встановлена не лише на фізичному рівні, але також і в зв'язках між космічним і моральним порядком. Піфагор увів звичай застосовувати музику для очищення душі й практикував лікування музикою. Деякі мелодії були проти пригнічуючих душу страждань — смутку й мук, другі — проти гніву й злості, а треті — проти пристрастей. Піфагорейцями було відкрито гармонійні співвідношення октави, квінти й кварти, а також числові закони, що ними керують.

Про еволюцію

    Друга сторона вчення Піфагора говорить про Еволюцію, як закон космосу, єдиний для всього. Безсмертна душа людини, діючи згідно з цим законом, переходить з одного тіла в інше, набирає необхідного досвіду, пізнає світ, закони, Природу, завойовує Мудрість, щоб повернутися на свою Божественну Батьківщину.

Про дружбу

     Піфагорійці високо цінували дружбу, яка розглядалась як невід'ємна умова спільного життя, що добре ілюструє відомий вислів: «між друзями всі речі — спільні». Піфагорійська дружба досі слугує гідним прикладом відданих, чесних, щирих стосунків між людьми.

Про перевтілення душі

За Піфагором, душа є безсмертною та перевтілюється після смерті в інші живі істоти, зокрема, у тварин. Грецький філософ Ксенофан висміював це бачення: «Одного разу Піфагор проходив біля людей, які знущалися з собаки. „Не бийте його. Це душа одного мого друга. Я впізнав її по голосу.“»

Піфагор (580 до н. е. — 500 до н. е.) — давньогрецький філософ, математик, релігійний та політичний діяч.

      

     Основним змістом піфагорійської математики є вчення про число. Як і вавилонські маги, піфагорійці вважали надзвичайно важливими різні властивості чисел і відношення між ними. І коли відсіяти полову — числову містику, виявиться, що вони ввели багато фундаментальних теоретико-числових понять, виявили і дослідили глибокі властивості чисел і поставили такі питання, які й сьогодні залишаються предметом досліджень багатьох учених і все ще чекають свого розв’язання.